Table des matières
Comment trouver la somme des racines?
A Somme et produit de racines
- Théorème. Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a−b et P=ac.
- DÉMONSTRATION.
- Exemple.
Quelle est la somme des racines?
| SOMME ET PRODUIT – Recherchons les racines de cette nouvelle équation | |
|---|---|
| Appelons s = ½ S. Les racines sont: | x1 = s + (s² – P) x2 = s – (s² – P) |
| Remarque: on observe une symétrie autour de s = S/2. | x1 = s + t x2 = s – t |
| Leur somme: | x1 + x2 = 2s = S |
| Leur produit: | x1 . x2 = s² – (s² – P) = P |
Comment calculer les racines d’un polynome de degré 2?
Racines : Une racine réelle dite « double » : x1 = − b 2a . Factorisation : Pour tout x, ax2 +bx+c = a(x−x1)2. Signe : ax2 +bx+c est toujours du signe de a et s’annule pour x = x1. Résolution dans R de l’équation x2 +2x−3 = 0 : (Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 2 et c = −3 ).
Si x1 et x2 sont les solutions de l’équation ax 2 + bx + c = 0, alors La somme des racines est S = x1 + x2 = – b/a Le produit des racines est P = x1. x2 = c/a
Quel est le produit des racines?
Le produit des racines est P = x1. x2 = c/a Remplaçons b = – a S et c = a P dans l’équation ax 2 + bx + c = 0, on obtient: ax 2 + (- a S) x + a P = 0 a (x 2 – S x + P) = 0
Quel est le degré des racines multiples?
Cas des racines multiples : Le degré du polynôme est impair, et k = – 8. Le produit des racines vaut – k. On en déduit que 2 est une racine multiple d’ordre 3. En clair, les racines sont 2, 2, et 2 (3 fois le même nombre, mais il y a bien 3 racines). On constate que la somme des 3 racines est bien égale à – b = 6.
Combien de racines sont réelles et complexes?
Par exemple pour un polynôme de degré 3, il y a forcément 1 racine réelle. Les deux autres racines sont soit réelles toutes les deux, soit complexes conjuguées. Un polynôme de degré 4 peut avoir : soit 4 racines réelles soit 2 racines réelles et 2 racines complexes, les deux racines complexes étant conjuguées